\documentclass[12pt, a4paper]{article}
\usepackage{geometry}
\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{physics}
\graphicspath{ {./} }
\usepackage{ctex}

\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\footnote{使用了AI辅助}
	由于作者水平有限，笔记可能存在疏漏，以课本为准。
	
	\section{预备知识}
	我们知道Euler公式
	\begin{equation}
		e^{i \theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta)
	\end{equation}
	因此三角函数的复指数形式为
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\cos\theta &= \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\
			\sin\theta &= \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	
	\section{复指数下的解1}
	以下假定$\omega_n = \sqrt{\lambda_n} > 0$, $k_n = \frac{\omega_n}{c} > 0$。
	我们之前遇到了这样一个ODE，其中$\lambda>0$：
	\begin{equation}
		T_n=T_n(t) \qquad  \dv[2]{T_n}{t} = -\lambda_n T_n
	\end{equation}
	我们曾经给出过结论，这个解
	\begin{equation}
		T_n = A \cos(\omega_n t) +  B \sin(\omega_n t) \\
	\end{equation}
	不过，既然这个解的三角函数浓度极高，我们使用三角函数的复指数形式改写：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			T_n &= 
			A \frac{e^{i\omega_n t} + e^{-i\omega_n t}}{2}
			+B \frac{e^{i\omega_n t} - e^{-i\omega_n t}}{2i}\\
			& = 
			\frac{A-iB}{2}e^{i\omega_n t}+\frac{A+iB}{2}e^{-i\omega_n t}\\
			& = \tilde A e^{i\omega_n t} + \tilde B e^{-i\omega_n t}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	$\tilde ~$上标用以强调其为复数。
	既然能使用复指数函数$e^{i\omega_n t}, e^{-i\omega_n t}$凑出$\cos(...), \sin(...)$，那么复指数函数应该也能作为ODE的解。
	
	不过，上文我们假定解$T_n$是实函数，因此两个复指数函数的复系数需要满足一定关系；
	如果我们放松约束、允许解可以是复数，那么
	\begin{equation} \label{eq_sol_i}
		\tilde T_n = \tilde A e^{i\omega_n t} + \tilde B e^{-i\omega_n t}
	\end{equation}
	可以作为复数域上相应ODE的解，其中$\tilde A, \tilde B$现在是是无关的复数。
	
	这听起来有点啰嗦，我们总结一下：
	\begin{itemize}
		\item 在实数域上，ODE $\dv[2]{T_n}{t} = -\lambda_n T_n$的解是$T_n = A \cos(\omega_n t) +  B \sin(\omega_n t) $；
		\item 在复数域上，ODE $\dv[2]{\tilde T_n}{t} = -\lambda_n \tilde T_n$的解是$T_n = \tilde A e^{i\omega_n t} + \tilde B e^{-i\omega_n t} $；
		\item 复数域的解包括实数域的解 $T_n \subset \tilde T_n $
	\end{itemize}
	这启发我们将解写为复指数的形式\formula{eq_sol_i}。
	复指数的形式比三角函数形式更方便求导或求乘积。
	并且，对于Schrodinger方程等，其解$\Psi$是复函数，
	使用三角函数形式无法完全体现他的结构。
	
	
	
	\newpage
	\section{复指数下的解2}
	那么，我们的波动方程的一个本征解
	\begin{equation} \label{eq:eigenstate}
		u_n = X_n T_n= [A \cos(\omega_n t) +  B \sin(\omega_n t)] [C \cos(k_n x) +  D \sin(k_n x)]
	\end{equation}
	在复指数下应该可以改写为
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\tilde u_n &= 
			(\tilde A e^{i\omega_n t} + \tilde B e^{-i\omega_n t})
			(\tilde C e^{i k_n x} + \tilde D e^{-ik_n x})\\
			& = \tilde A \tilde C e^{i(\omega_n t+k_n x)}
			+ \tilde A \tilde D e^{i(\omega_n t-k_n x)}
			+ \tilde B \tilde C e^{i(-\omega_n t+k_n x)}
			+ \tilde B \tilde D e^{i(-\omega_n t-k_n x)}\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	请注意，这里$\tilde A$与$A$等不直接相关，只是用以代表系数。
	因此，解是所有本征解的线性组合：
	\begin{equation} \label{eq:sum_1}
		\begin{aligned}
			\tilde u & = \sum_n \tilde c_n \tilde u_n \\
			& = \sum_n
			{
				(
				\tilde c_n \tilde A \tilde C e^{i(\omega_n t+k_n x)}
				+ \tilde c_n \tilde A \tilde D e^{i(\omega_n t-k_n x)}
				+ \tilde c_n \tilde B \tilde C e^{i(-\omega_n t+k_n x)}
				+ \tilde c_n \tilde B \tilde D e^{i(-\omega_n t-k_n x)}
				)
			}\\
			& (\omega_n >0, k_n>0)
		\end{aligned}
	\end{equation}
	在这个求和中，我们将$\lambda_n$作为“基本量”，由此导出$\omega_n, k_n$，
	这要求$\omega_n>0, k_n>0$。
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\linewidth]{sum}
		\caption{改变求和的思路. a. \formula{eq:sum_1}(省略了系数), b. \formula{eq:sum_2}}
		\label{fig:sum}
	\end{figure}
	
	这看起来非常繁琐！
	但仔细观察，我们发现各项相差的只是$\omega_n, k_n$前的正负号。
	%从构造关系上看，我们当时使用了$\omega_n^2=\lambda_n,k_n^2=\lambda_n/c^2$，
	%无论是$\pm \omega_n$等都能符合要求；
	%也就是说一个$\lambda_n$对应四种组合$\lambda_n\to \pm \omega_n, \pm k_n$。
	如果我们改变求和的思路，从对$\lambda_n$的所有可能求和，转为对$\omega_n, k_n$的所有可能求和，或许能简化思路：
	这使得$\omega_n, k_n$的取值范围化为$(-\infty,+\infty)$，且只需要求和满足色散关系$\omega^2 = k^2  c^2$与边界的项。
	因此，
	\begin{equation} \label{eq:sum_2}
		\tilde u = \sum_{k,\omega, \text{符合条件}} \tilde c_{k,\omega} e^{i(\omega t - k x)} \qquad \omega, k \in (-\infty,+\infty)\\
	\end{equation}
	$\tilde A$等系数被合并入$\tilde c_n$，$k_n$前的负号是习惯。
	我们发现上式解是一种复行波，\textsl{大道至简、返璞归真啊！}
	
	\newpage
	\section{从复数解回到实数解}
	我们上文说，巧妙地设置系数应该能让复数解回到实数解。
	不过我们还有另一种更为直接的方法：只要取$\tilde u$的实部并扔掉复部即可，这样让凑系数的工作容易不少。
	\begin{equation}
		u = \Re \tilde u
	\end{equation}
	具体而言，我们从本征解\formula{eq:eigenstate}看出，一个本征解包括以下部分
	\begin{equation}
		\{
		\cos(\omega t) \cdot \cos(kx),  
		\cos(\omega t) \cdot \sin(kx), 
		\sin(\omega t) \cdot \cos(kx), 
		\sin(\omega t) \cdot \sin(kx)
		\}
	\end{equation}
	如果我们能用$\Re \tilde u$凑出这四项驻波解，我们就可以构造任何实数解。使用三角恒等变换，
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\cos(\omega t) \cdot \cos(kx) &= \frac{1}{2} [\cos(\omega t - kx) + \cos(\omega t + kx)] \\
			\cos(\omega t) \cdot \sin(kx) &= \frac{1}{2} [\sin(\omega t + kx) - \sin(\omega t - kx)] \\
			\sin(\omega t) \cdot \cos(kx) &= \frac{1}{2} [\sin(\omega t + kx) + \sin(\omega t - kx)] \\
			\sin(\omega t) \cdot \sin(kx) &= \frac{1}{2} [\cos(\omega t - kx) - \cos(\omega t + kx)] \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	我们不仅可以从驻波构造行波，我们还可以从行波构造驻波！
	
	我们演示一个例子，
	用$\Re{\tilde u =\tilde c_1 \tilde u_2+\tilde c_1 \tilde u_2 }$构造$\cos(\omega t) \cdot \cos(kx)$。
	首先，我们选取
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\tilde u_1 &= \tilde c_1 e^{i(\omega t + kx)}\\
			\tilde u_2 &= \tilde c_2 e^{i(\omega t - kx)}\\
			& (\omega ,k > 0) \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	假设$\tilde c_1 = A_1 + iB_1$等，那么
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\Re(\tilde c_1 \tilde u_1) &= A_1 \cos(\omega t + kx) - B_1 \sin(\omega t + kx) \\
			\Re(\tilde c_2 \tilde u_2) &= A_2 \cos(\omega t - kx) - B_2 \sin(\omega t - kx)
		\end{aligned}
	\end{equation}
	只要取$\tilde c_1 = 1/2(1+0i), \tilde c_2 = 1/2(1+0i)$，即$A_1=A_2=1,B_1=B_2=0$，我们就得到
	\begin{equation}
		\Re{\tilde c_1 \tilde u_1+\tilde c_1 \tilde u_2} = 1/2 \cos(\omega t + kx) +1/2\cos(\omega t - kx) = \cos(\omega t) \cdot \cos(kx)
	\end{equation}
	这个例子表明，即使只取实部，我们也能从复数解轻易地构造实数解。
\end{document}
